Não consigo expirar uma sessão por tempo

Estou tentando expirar uma sessão após um determinado período de tempo para evitar que ela fique aberta após o usuário fechar o navegador sem clicar em desconectar mas não consigo, já procurei diversos tópicos na internet e fiz várias tentativas mas não funciona, não sei o que estou fazendo de errado.

Utilizo duas páginas, a primeira página é um formulario de login e senha que também cria a sessão que será obtida na segunda página. A Segunda página recupera e finaliza a sessão aberta.

Primeira Página.::

<?php

session_cache_limiter('private');
$cache_limiter = session_cache_limiter();
session_cache_expire(1);
$cache_expire = session_cache_expire();

session_start('teste');
$_SESSION['resultado'] = aberto;

?>

Segunda Página.::

<?php

session_start('teste');
$resultado = $_SESSION['resultado'];
session_unset();
session_destroy();

echo "Resultado: " .$resultado. "<br>";

?>

Teoricamente é para a Sessão Expirar após 1 minuto e para a variável $resultado não mostrar nada na segunda página, mas não funciona, a variável mostra o resultado setado na primeira página, o que estou fazendo de errado ?