Salvar dados de um textarea

Amigo, tem sim, basta usar fopen e fwrite.

<?php
$texto = "Teste."; //Texto que vai ser digitado, no caso, seria o value do textarea.
$arquivo = "test.txt"; //Diretório do arquivo de texto.

if (file_exists($arquivo)){ //Checa se o arquivo existe.

$abrir = fopen($arquivo, "w"); //Abre o arquivo "teste.txt" com permissão de escrita.
fwrite($abrir, $texto); //Escreve o valor de "$texto" em "$abrir (test.txt)".
fclose($abrir); //Fecha a conexão.
echo 'Sucesso: "'.$texto.'" foi inserido no arquivo "'.$arquivo.'".'; //Mensagem de sucesso.
} else {

echo "Erro: Não foi possivel inserir os dados no arquivo"; //Mensagem de erro.
}

?>