Como eu faço para pegar emails respondidos pelos clientes e salvar no banco de dados?

É possível, você precisa usar as funções imap para se conectar na conta de e-mail e pegar o que o e-mail respondido.

Não é um código pronto para isso, mas é parte de um código no meu sistema para você ter um começo.

set_time_limit(60*30);

 $email = imap_open('{imap.email.com.br/imap/ssl/novalidate-cert}INBOX', "email@email.com", 'senha');

 $emails = array();

 if(is_resource($email) === TRUE)
 {
 $headers = imap_headers($email);

 $numero_mensagens = imap_num_msg($email);

 for($i = $numero_mensagens; $i > 0; $i--)
 {
 $r = imap_header($email, $i);

 if($r->subject == 'Undelivered Mail Returned to Sender')
 {
 $r = imap_body($email, $i);

 $emails[$this->get_string_between($r, '<', '>')] = true;
 }
 }

 imap_close($email);
 }

 foreach($emails as $e => $a)
 {
 echo "'";
 echo $e;
 echo "',";
 }