Elemento com maior número de repetições em uma lista python

Tenho um input em que o usuário pode inserir nomes de animais:

lista = []
animais = input('Nome do animal: ')
lista.append(animais)

Como faço para obter dessa lista os elementos que mais se repetem?

lista = ['gato', 'cobra', 'gato', 'coruja']

Saída:

gato

Porém, preciso contar essas ocorrências sem utilizar as funções disponíveis para listas como count, set, e etc.

Já busquei em vários fóruns alguma ajuda, pelo menos uma ideia de como começar o código, mas não achei nada que pudesse me ajudar.